直角三角形面积公式 直角三角形怎么算平方

这道题是2000年AMC 10第19题（也是AMC 12第21题）。

从直角三角形的斜边上的某一个点，画两条直角边的平行线，将该直角三角形分成三部分：一个正方形和两个小的直角三角形。这两个小直角三角形中的一个的面积，是正方形面积的m倍，求另一个小直角三角形的面积与正方形面积之比。

既然是求小三角形的面积与正方形面积之比，不妨设正方形的面积为1，即正方形的边长也为1；则已知的那个小三角形的面积为m。如下图所示：

在图中，右下角小三角形的面积为m，其中一条直角边为1，故另一条直角边（大三角形直角边的一部分）为2m。设另一个小三角形的未知直角边为x。

这样，两个小三角形的斜边长度分别为root（ 4m^2+1）和root（ x^2+1）。对大三角形而言，根据勾股定理，有：

（2m+1）^2 + (x+1)^2 = (root（ 4m^2+1）+ root（ x^2+1）) ^2

化简得到：

4m^2 x^2 – 4mx +1=0

即：(2mx – 1)  = 0

x= 1/ (2m)

故另一个小三角形的面积为：1/（4m），为正方形面积的1/（4m）。

还有更简单的方法可以快速求出m。容易发现，两个小三角形是相似三角形！（之前讲过！）故其对应边的比例相等，即：

x ：1 = 1 ：2m

即x= 1/ (2m)，同样可以得到结果。

是不是更清爽？