角的大小与什么有关 角的大小与角的度数有关

【问题】

二年级下册“角的初步认识”新授课上，关于“角的大小与什么有关”，经常会出现以下教学片断：

活动一：

学生操作活动角，经过观察、讨论后得出：角的大小与两边张开的角度有关。

活动二：

学生产生争论，有的认为两个角一样大，有的认为角4大。通过验证，两个角张开的角度相同，所以是一样大的。教师适时总结：角的大小与两边张开的角度有关，与边的长短无关。

就在这时，有学生提问：“老师，我还是觉得角4比角3大。你看——”用手势表示两边所夹的区域。

经过多次的动手操作、观察、辨析等，为什么该学生还是认为角4大？或者说，他只是一个代表，还有一部分学生也认为边越长，角就越大。我意识到，自己对于角的大小教学存在问题。

【分析】

根据“课程标准”的安排，小学数学教材中“角”的认识分为两段，第一段在二年级，主要是直观地认识角，大小不超过180度，知道直角、锐角和钝角；第二段在四年级，在射线的基础上建立角的概念，学会用量角器精确测量角的度数，扩展到周角。

教过二年级“角的初步认识”的教师都知道，这节课的教学难点是“角的大小与两边张开的角度有关，与边的长短无关”。如教学片断中所示，教师通常采用控制变量法，先让活动角的两边长短相等，张开的角度不同，引出角的大小与两边张开的角度有关。再让活动角的两边张开的角度相同，边的长短不同，引出角的大小与边的长短无关。为什么看似流畅的教学设计，最终的结果却不尽如人意呢？我以为，主要原因源于以下几个方面。

1、学生受直接经验的影响

一般来说，平面图形的大小指的是面积，那么对角的大小，学生很容易按照已有的经验，想当然地把“张开的程度、边的长短，以及两边之间所夹的区域”综合成一个整体，其实，就是把“角”想象成相应的“三角形”去比较。因此，他们会认为两边越长，占的面积就越大，从而角就越大。

2、对角的概念很模糊

四年级教材给出角的定义是“从一点引出的两条射线可以组成角”，二年级教材则更为模糊，角有一个顶点和两条边。那么，角到底是指图形中的什么？是不是只要学生认识顶点和边，就等于正确感知角的概念了呢？欧几里得的《几何原本》中对于角的本质，明确是“平面角是在一平面但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度”。由此可见，“一个顶点、两条直直的边”只是构成角的基本要素，角指的是倾斜度，与两边之间所夹的区域大小没有关系。

3、说“角的大小与边的长短无关”对吗?

角是具有公共端点的两条射线组成的图形，因为射线是向一方无限延伸的，所以无长短可言。另一方面，又说角的边有长短。因此，“角的大小与边的长短无关”这句话，本身就犯了“自相矛盾”的逻辑错误。教师应在教学中尽可能回避这种说法。

那如果用线段来定义角呢？画在纸上的射线仍旧是线段，对于小学数学学习来说，用线段定义角会更契合学生的生活世界。史宁中教授在《基本概念与运算法则》中给出角的描述性定义：“角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关。”张奠宙先生在《教材处理宜朴素自然、平易近人——关于小学数学教材里“角的认识”》一文中，也提出“用射线定义角，华而不实，弊多利少”。不过，从角的大小研究来看，不管角的两边是“射线”还是“线段”，角的边长都并非角的本质属性，角所要研究的是两边张开的角度。

【教学上的灵活处理】

角是一个很难描述清楚、很难理解的概念，“射线可无限延长、不可量化”和“角的大小固定、可量化”形成了对立统一的矛盾关系。这对以具体形象思维为主的二年级学生而言，是很难理解和掌握的。建议在教学“角的大小与什么有关”之前，可进行以下两点尝试。

1、建立“角的相等”概念

二年级学生对“角”的认识，建立在“一个顶点和两条直直的边”的基础上，而对“两条直边”的长短并没有要求，因此对于同一物体某一平面上的“角”，学生描画出来的两边往往长短都不同。可以组织学生观察、比较这些角有什么共同点，初步感知角都是相等的。结合“顶点对顶点、边对边”的操作，认识“角的相等”。再引发学生思考“什么情况下，两个角相等”，即两条边张开的角度相同，为学生学习“角的大小”做好铺垫。

2、充分利用“弧线”

“弧线”可以清晰表示开口方向、两边所夹区域、旋转扫过的区域等方面的含义。《教师教学用书》中明确指出“在角的图形里画‘弧线’表示出角，并告诉学生：以后可以用这样的方法表示角”。所以，在一系列找角、指角的活动中，学生不仅要能指出角的顶点及边，教师还需强调指角时要画小弧线，将学生的注意力引导到角的张口上，角就在这里，有利于学生准确认识角的本质，为学习“角的大小”埋下伏笔。

虽然这节课是“角的初步认识”，但教学目标定位不能是肤浅的认识，教师要追根溯源，把握概念的核心意义，让学生真正弄懂弄通所学知识，从而促进学生核心素养的提升。